基础算法（一）

快速排序

通过一趟排序将待排记录分隔成独立的两部分，其中的一部分比关键字小，后面一部分比关键字大，然后再对这前后的两部分分别采用这种方式进行排序，通过递归的运算最终达到整个序列有序。

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void quick_sort(int q[], int l, int r)//l指向最左边，r指向最右边
{
    if (l >= r) return;//当l和r跑到一起时，结束运行,即只有一个数据或没有数据，就不需要排序

    int i = l - 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];//因为下面的代码不管判断先进行一次挪位，所以i和j要往外一位，确保能扫到所有的数
    while (i < j)//x为分割点，>>1相当于/2
    {
        do i ++ ; while (q[i] < x);//比x小的放左边
        do j -- ; while (q[j] > x);//比x大的放右边
        if (i < j) swap(q[i], q[j]);//此时i和j都停在不符合条件的地方，用swap把值互换
    }
    quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r);//用递归对左边和右边的数据进行多次分割
}

下面是完整代码实现

给定你一个长度为 $n$ 的整数数列。

请你使用快速排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数（所有整数均在 $1∼10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 $n$个整数，表示排好序的数列。

数据范围

$1 \leq n \leq 100000$

输入样例：

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输出样例：

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#include <iostream>
using namespace std;
int n;
const int N = 1e6 + 10;
int q[N];
void quick_sort(int q[], int l,int r) {
	if (l >= r) { return; }
	int i = l - 1;
	int j = r + 1;
	int x = q[l];
	while (i<j)
	{
		do i++; while (q[i] < x);
		do j--; while (q[j] > x);
		if (i < j) { swap(q[i], q[j]); }
	}
	quick_sort(q,l,j);
	quick_sort(q, j + 1, r);
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> q[i];
	}
	quick_sort(q, 0, n - 1);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << q[i]<<" ";
	}
    return 0;
}

归并排序

  1. 确定分界点$(l+r)>>1$
  2. 递归排序左边和右边
  3. 归并————把两个有序的数组合并成一个有序的数列，即合二为一
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void merge_sort(int q[], int l, int r)//left和right
{
    if (l >= r) return;//只有一个数据或没有数据，就不需要排序

    int mid = l + r >> 1;//取中间,	确定分界点
    merge_sort(q, l, mid);//递归，排序右边
    merge_sort(q, mid + 1, r);//递归，排序左边

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;//k表示两个数组合并了几个数，i是指向左半边的起点，j是指向右半边的起点
    while (i <= mid && j <= r)//i小于左半边的边界，j小于右半边的边界
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];//左半边最小值小于右半边最小值时，用一个临时数组存储左半边
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];//即把最小的存到临时数组

    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];//左半边没有循环完，就把左半边剩下的存到临时数组里
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];//同上

    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];//把临时数组里存放的数据还到需要排序的数组里
}

给定你一个长度为 $n$ 的整数数列。

请你使用归并排序对这个数列按照从小到大进行排序。

并将排好序的数列按顺序输出。

输入格式

输入共两行，第一行包含整数 $n$。

第二行包含 $n$ 个整数（所有整数均在 $1∼10^9$ 范围内），表示整个数列。

输出格式

输出共一行，包含 $n$ 个整数，表示排好序的数列。

数据范围

$1 \leq n \leq 100000$

输入样例：

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输出样例：

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#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;

int n;

int q[N],tmp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r)//left和right
{
    if (l >= r) return;//只有一个数据或没有数据，就不需要排序

    int mid = l + r >> 1;//取中间
    merge_sort(q, l, mid);//递归，排序右边
    merge_sort(q, mid + 1, r);//递归，排序左边

    int k = 0, i = l, j = mid + 1;//k表示两个数组合并了几个数，i是指向左半边的起点，j是指向右半边的起点
    while (i <= mid && j <= r)//i小于左半边的边界，j小于右半边的边界
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k++] = q[i++];//左半边最小值小于右半边最小值时，用一个临时数组存储左半边
        else tmp[k++] = q[j++];//即把最小的存到临时数组

    while (i <= mid) tmp[k++] = q[i++];//左半边没有循环完，就把左半边剩下的存到临时数组里
    while (j <= r) tmp[k++] = q[j++];//同上

    for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) q[i] = tmp[j];//把临时数组里存放的数据还到需要排序的数组里
}
int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> q[i];
    }
    merge_sort(q, 0, n - 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cout << q[i] << ' ';
    }
    return 0;
}

二分

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bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

给定一个按照升序排列的长度为 $n$ 的整数数组，以及 $q$ 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 $k$ 的起始位置和终止位置（位置从 $0$ 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数$n$ 和$ q$，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 $n$ 个整数（均在 $1∼10000$ 范围内），表示完整数组。

接下来 $q$ 行，每行包含一个整数 $k$，表示一个询问元素。

输出格式

共 $q$ 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

$1 \leq n \leq 100000$
$1 \leq q \leq 10000$
$1\leq k \leq 10000$

输入样例：

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输出样例：

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#include <iostream>
using namespace std;
const int N=100010;
int n, m;//n是数组长度，m是询问个数
int q[N];

int main()
{
	cin >> n >> m;//n是数组长度，m是询问个数
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		cin >> q[i];
	}
	while (m--)//一共有m个询问
	{
		int x;
		cin >> x;//x是要查询的数字
		int l = 0, r = n - 1;
		while (l < r)
		{
			int mid = l + r >> 1;
			if (q[mid] >= x)r = mid;//有序数组的中间值比找的数组值x大或者等于，说明x在l和mid之间，即[l.mid]，因此把右边界改为mid
			else l = mid + 1;//有序数组的中间值比找的数组值x小，取不到mid，所以在[mid+1,r]中，因此把左边界改为mid+1
		}
		if (q[l] != x)cout << "-1 -1" << endl;//检查所查找的数据x是否存在于数组中，不存在就输出-1 -1
		else
		{
			cout << l << ' ';

			int l = 0, r = n - 1;
			while (l < r)
			{
				int mid = l + r + 1 >> 1;//当l=r-1,即l和r仅仅相差一位，如果不+1，mid会等于l
				if (q[mid] <= x)l = mid;//这里就会变成l=mid=l，陷入死循环
				else r = mid - 1;
			}
			cout << l << endl;
		}
	}
	return 0;
}